Không gian ba chiều

Đường cong không gian 3D. Vectơ vị trí r được tham số hóa bởi một vô hướng t. Tại r = a đường màu đỏ là tiếp tuyến của đường cong và mặt phẳng màu xanh là đường cong bình thường.

Trong không gian ba chiều, bất kỳ tập hợp tọa độ ba chiều và vectơ cơ sở tương ứng của chúng đều có thể được sử dụng để xác định vị trí của một điểm trong không gian, bất kỳ cách đơn giản nhất để giải quyết vấn đề có thể được áp dụng.

Thông thường, người ta sử dụng hệ tọa độ Descartes quen thuộc, hoặc đôi khi hệ tọa độ cầu hoặc hệ tọa độ trụ:

r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}

Trong đó t là một phương trình tham số, do sự đối xứng hình chữ nhật hoặc hình tròn của chúng. Các tọa độ khác nhau và các vectơ cơ sở tương ứng đại diện cho cùng một vectơ vị trí. Các tọa độ đường cong tổng quát hơn có thể được sử dụng thay thế và trong các bối cảnh như cơ học liên tục và thuyết tương đối rộng (trong trường hợp sau, người ta cần tọa độ thời gian bổ sung).

Không gian n chiều

Đại số tuyến tính cho phép trừu tượng hóa một vectơ vị trí n chiều. Một vectơ vị trí có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở:[3][4]

r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n . {\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}

Tập hợp tất cả các vectơ vị trí tạo thành không gian vị trí (một không gian vectơ có các phần tử là vectơ vị trí), vì các vị trí có thể được cộng (cộng vectơ) và chia tỷ lệ theo chiều dài (nhân vô hướng) để có được vectơ vị trí khác trong không gian. Khái niệm "không gian" là trực quan, vì mỗi xi (i = 1, 2,..., n) có thể nhận bất kỳ giá trị nào, tập hợp các giá trị xác định một điểm trong không gian.

Thứ nguyên của không gian vị trí là n (còn được ký hiệu là dim(R) = n). Các hệ tọa độ của vectơ r đối với các vectơ cơ sở ei là xi. Vectơ của các tọa độ tạo thành vectơ tọa độ hoặc n-tuple (x1, x2, …, xn).

Mỗi tọa độ xi có thể được tham số hóa thành một số tham số t. Một tham số xi(t) sẽ mô tả đường cong 1D, hai tham số xi(t1, t2) mô tả bề mặt cong 2D, ba tham số xi(t1, t2, t3) mô tả thể tích cong 3D của không gian, vân vân.

Nhịp tuyến tính của tập cơ sở B = {e1, e2, …, en} bằng không gian vị trí R, nhịp được ký hiệu span(B) = R.